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对速度的函数再求一次导数,就得到了加速度的表示。
鲜为人同学们懂不懂不知道,反正在场的这些大佬们很快便都想到了这一点。
是的。
之前所列的函数f(x,t)描述的内容,就是波段上某一点在不同时间t的位置!
所以只要对对f(x,t)求两次关于时间的导数,自然就得到了这点的加速度a。
因为函数f是关于x和t两个变量的函数,所以只能对时间的偏导?f?t,再求一次偏导数就加个2上去。
因此很快。
包括法拉第在内,所有大佬们都先后写下了一个数值:
加速度a=?2f?t2。
而将这个数值与之前的合力与质量相结合,那么一个新的表达式便出现了:
f=t·s(θ+Δθ)-t·sθ=μ·Δx?2f?t2。
随后威廉·韦伯认真看了眼这个表达式,眉头微微皱了些许:
“罗峰同学,这就是最终的表达式吗?我似乎感觉好像还能化简?”
徐云点了点头:
“当然可以。”
f=t·s(θ+Δθ)-t·sθ=μ·Δxa?2f?t2。
这是一个最原始的方程组,内容不太清晰,方程左边的东西看着太麻烦了。
因此还需要对它进行一番改造。
至于改造的思路在哪儿呢?
当然是sθ了。
只见徐云拿起笔,在纸上画了个直角三角形。
众所周知。
正弦值sθ等于对边c除以斜边a,正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
徐云又画了个夹角很小的直角三角形,角度估摸着只有几度:
“但是一旦角度θ非常非常小,那么邻边b和斜边a就快要重合了。”
“这时候莪们是可以近似的认为a和b是相等的,也就是a≈b。”
随后在纸上写到:
【于是就有cb≈ca,即tanθ≈sθ。】
【之前的公式可写成f=t·tan(θ+Δθ)-t·tanθ=μ·Δxa?2f?t2。】
“稍等一下。”
看到这句话,法拉第忽然皱起了眉头,打断了徐云。
很明显。
此时他已经隐隐出现了掉队的迹象:
“罗峰同学,用tanθ替代sθ的意义是什么?”
徐云又看了小麦,小麦当即心领神会:
“法拉第先生,因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率呀,也就是代表曲线在某一点的导数。”
“正切值的表达式是tanθ=cb,如果建一个坐标系,那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy,b就是在x轴的投影dx。”
“它们的比值刚好就是导数dydx,也就是说tanθ=dydx。”
法拉第认真听完,花了两分钟在纸上演算了一番,旋即恍然的一拍额头:
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