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这无数条路径,每一条函数也就是路径的长度都是一个数,对吧?
那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的,这就是求泛函的极值问题。
函数空间的自变量我们称为宗量自变函数,当宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少,这其实就是变分。
非常简单,也非常好理解。
在眼下这个时代。
变分问题的数值近似解法有两类。
一类是在能量表达式中用差商代替微商,因而得到差分的形式。
这也就是给予变分原理的差分格式的一种类型,首见于欧拉,后见于柯朗,弗里德里希,来万不是踢足球的那个等人。
另一类近似解法是黎兹加辽金方法,即把变分问题限制在限维子空间内求解。
随后徐云顿了顿,组织了一番语言,说道:
“华教授,您既然对这方面有所了解,那我就直接说下去了。”
“在目前的两种变分方式中,第一类变分问题的数值近似解法相对效率较低,长期以来没有得到太大的重视。”
“而第二类类方法曾被广泛采用,因为它的特点比较鲜明——能够较好地保持问题特性。”
“不过它的缺点是在复杂系数的情况下比较困难,不够通用灵活。”
“虽在理论上比较完整,但在具体情况下收敛条件的验证很难落实。”
“如今随着计算要求的提高,第二种方法也逐渐开始变得低效了起来,甚至可以说有些滞后了。”
“是啊。”
听到徐云这番话。
华罗庚脸上露出了一丝感慨,微微叹了口气,说道:
“小韩,你说的没错,目前变分问题的数值近似解法确实比较复杂。”
“所以如今为了追求足够高的精度,我们大多都只能走微分途径——其实包括国外也是如此。”
“长期以往,我们的计算效率受到了很大影响,大家的负反馈说实话还是不少的。”
华罗庚说完。
一旁的冯康、陈景润乃至于敏也都跟着点了点头。
正如华罗庚所说。
目前几乎所有守恒原理或变分原理的问题,国内外几乎都使用的是微分途径。
一般说来。
微分途径的优点是通用,简便,有时可以达到较高的精度。
缺点则是容易陷于盲目,物理数学特性保持较差。
例如自伴问题差分化的时候。
如未经特殊的考虑,则离散矩阵往往不对称,从而导致解的失真和解算的困难。
在对于复杂的内外边界条件、不规则的系数和几何形状、不规则的网格、解的不规则性、奇异性间断性等情况下处理比较困难,也不容易统一。
奈何变分方法实在是太拉胯了,业界里头只能暂时使用老掉牙的微分途径。
然而令华罗庚有些意外的是。
徐云接下来并没有顺着他的话进行表态,而是抛出了另一个问题:
“既然如此华教授,不知道您是否考虑过优化变分问题的数值近似解法呢?”
“优化解法?”
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